Teoría de Conjuntos/Teorema de Cantor (Explicado por Instinct)

Resumiré ampliamente esto. 


Para poder comprender el teorema de Cantor, se necesita entender dos conceptos: 
1. Cardinalidad 
2. Cantidad

Cardinalidad: Define al tamaño de un conjunto, basado en la cantidad de valores que contiene. 
Cantidad: Es el número de cosas que hay en un conjunto. 



Es decir, estos dos conceptos son complementarios el uno del otro. 

Ejemplo de estos dos: Un conjunto tiene 3 gatos. Entonces, dicho conjunto tiene una cantidad de 3 valores (gatos), y por ende su cardinalidad es 3. 

Lo siguiente, es entender la cardinalidad superior. Esto se da, por definición, cuando un conjunto tiene un cardinal mayor a otro. 

Es decir, por ejemplo, un conjunto de 3 gatos tiene una cardinalidad mayor a la de un conjunto de 2 gatos. Entendido eso, prosigamos: 



Cantor extrapoló esto de la cardinalidad a los infinitos, dando como resultado que hay infinitos más grandes que otros. Para esto, nos basaremos rápidamente en los reinos de números y por ende, sus conjuntos. 

Miremos, por ejemplo, el conjunto de números naturales. Estos abarcan una cantidad como la imaginamos todos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 
Ahora miremos el de los enteros. Estos abarcan una cantidad más compleja:
...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1 ,2 ,3 ,4 ,5...

A simple vista, puede parecer que el conjunto de los números enteros tiene una cardinalidad mayor a la de los números naturales; sin embargo esto es falso. El conjunto de los números naturales y el conjunto de números enteros tienen la misma cardinalidad, y el de los racionales también. Todo conjunto infinito que pueda tener una función biyectiva con otro, es necesariamente ℵ0.


(la función biyectiva se da cuando todos los valores de un conjunto tienen su semejante en otro, y al tratar de hacer parejas con estos semejantes, no queda ningún sobrante ni se debe repetir para completar el proceso).


Pondré un ejemplo rápido
Usaré el conjunto de números naturales y trataré de hacer una función biyectiva con un subconjunto del mismo, usando solo números pares

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... 

Tienen sus semejantes con 

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...

Y así seguirá infinitamente. Si intentamos hacer una biyección con ambos, si que se va a poder. Todos los valores tendrán su imagen en el conjunto de pares.


Ahora intentémoslo con el conjunto de números enteros.

Para organizarlo correctamente, organicemos el conjunto de números enteros de esta forma 

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, etc.

De esta forma, nos damos cuenta de que efectivamente, el conjunto de números enteros también puede tener una función biyectiva con el conjunto de números naturales, y por ende tienen la misma cardinalidad. 

¿Qué pasa con los racionales? Lo mismo. Si los organizas de manera adecuada, se puede hacer una función biyectiva con el conjunto de números naturales.


Sin embargo, el conjunto de números reales, SI que tiene una cardinalidad mayor. Esto se nota fácilmente con el argumento de la diagonal de Cantor.


El conjunto de números reales se compone por "Números enteros", con subconjuntos decimales infinitos, o los llamados números irracionales, o lo que es igual un "contínuo" como se diría matemáticamente.


Entonces, podemos tratar de hacer una biyección entre un conjunto de números naturales con estos decimales infinitos, por ejemplo el intervalo entre 0 y 1. Aquí entra el argumento de la diagonal de Cantor:

Asumamos que hemos encontrado exitosamente una pareja para todos los valores del conjunto Natural en el intervalo de 0 y 1.

1→0.10561826126357 ...
2→0.27121973123876 ...
3→0,31939183123985 ...
4→0,47685123768567 ...
5→0,58712378120423 ...
.
.
.

(los puntos suspensivos representan que la lista sigue y sigue.

Una vez hecho, crearemos una nueva posición usando el argumento diagonal. Iremos bajando de forma diagonal y, al número que haya, le sumaremos un uno. Si es 9, lo cambiaremos por cero:

1→0.10561826126357 ...
2→0.27121973123876 ...
3→0,31939183123985 ...
4→0,47685123768567 ...
5→0,58712378120423 ...
.
.
.

X=0,28093... 
Donde X=(Valor de 0-1 que no está en la lista y no corresponde a ningún número del conjunto natural)

Al hacer esto, hemos creado una posición que no es imagen de ningún valor del conjunto Natural. Puedes tratar de seguir bajando e incluso asignar un número muy parecido al que estás creando a alguna posición, y simplemente vas a descubrir que NO está.

1→0.1056182612635718231201293612783128712...
2→0.2712197312387612903812487198236712638...
3→0,3193918312398512039128316317237162411...
4→0,4768512376856712309182310748293748013...
5→0,5871237812042312309123810927418237192...
6→0,6123981238971239187417293691273612312...
7→0,7123871410239813461972386192837612391...
8→0,8102938120471238012387102837619273619...
9→0,1230981230182749123601278361928731923...
10→0,280939223410284293171182102199219081...
.
.
.

X=0,2809392235...

Por tanto, hemos demostrado que la cardinalidad de los números naturales es estrictamente menor que la de los números reales, siendo apenas una función inyectiva que no abarca la totalidad de dicho conjunto. 

A los conjuntos infinitos con una cardinalidad igual a la del conjunto natural, entero o racional, se les llama "infinito contable/numerable". Y a los conjuntos con una cardinalidad igual o mayor a la de los números reales, "infinito incontable/no numerable".

El conjunto potencia:

El teorema de Cantor, también dicta que todo conjunto, finito o infinito, tiene una cardinalidad estrictamente menor que su conjunto potencia. 
 
¿Qué es un conjunto potencia?

Un conjunto potencia es un conjunto donde se engloban todas las "combinaciones" y subconjuntos del conjunto original.

Por ejemplo, en un conjunto finito "1,2,3"; el conjunto potencia sería: (∅, 1, 2, 2, 1;2, 1;3, 2;3, 1;2;3).

Es decir, en el conjunto potencia encontramos un subconjunto vacío, un subconjunto con cada valor del primer conjunto, un subconjunto con dos valores del primero, y un subconjunto que es el propio conjunto inicial

Es decir, un conjunto es subconjunto de si mismo.



En un conjunto infinito, por ende, tendríamos que:

N (conjunto original): 0,1,2,3,4,5....

P(N) (conjunto potencia): ∅; 1,2,3,4,5...∞; 1;2,1;3,1;4...∞,2;1,2;2,2;3....∞ 

Y así seguiría infinitamente haciendo infinitos subconjuntos. Y de todas formas, seguiría conteniendo al conjunto original. En fin, que un conjunto es inferior a su conjunto potencia, y por definición, el conjunto potencia de un conjunto infinito no es numerable.

Lo bonito de los conjuntos potencia, es que, debido a su naturaleza y modelo, podemos crear infinitos infinitos más grandes que otros. 

Por ejemplo, como establecimos, P(N) > N. Pero el conjunto potencia de P(N) también será mayor que P(N). 

P(P(N)) > P(N)
P(P(P(N))) > P(P(N))

Y así infinitamente. Y por cierto P(N) = Números Reales

Otra forma de escribirlo es 2^(conjunto). Puesto que, en otro esquema de conjuntos potencia, se puede definir a "2" puesto que en un conjunto potencia, un valor tiene dos posibilidades, estar o no estar. Y se eleva a la cantidad total de valores que existen en dicho conjunto. 

Por ejemplo, como dijimos antes, el conjunto potencia del conjunto finito "1,2,3" sería: (∅, 1, 2, 2, 1;2, 1;3, 2;3, 1;2;3).

El conjunto potencia tiene 8 valores, a diferencia del original. Siguiendo la lógica de 2^(conjunto), descubriremos que si funciona. 

2^3=8.

Y esto obviamente aplica para conjuntos infinitos.

Los ℵ (Aleph) para diferenciar los infinitos:

Establecida pues, el concepto de conjunto potencia, ahora hay que buscar una forma de organizar este maravilloso descubrimiento. Cantor lo hizo usando la letra Aleph del alefato hebreo. 

ℵ0 sería el nombre que se les da a los conjuntos con un cardinal igual al de los numeros naturales, enteros o racionales. 
ℵ1 es el nombre que se les da a los conjuntos con un cardinal igual al de los números reales, o al conjunto potencia de los anteriores. Es decir, ℵ1=P(ℵ0)=2^ℵ0

Y así, a cada conjunto potencia se le asignaría un valor. 

ℵ2, ℵ3, ℵ4, ℵ5, y hasta el ℵω, el maximo conjunto aleph, pero no el infinito mas grande, puesto que se puede hacer el conjunto potencia de ℵω, y seguir creando infinitos cada vez mas grandes que otros. 

Ergo, existen infinitos infinitos más grandes que otros.

Imposibilidad del Infinito Absoluto:

El infinito absoluto se define como el conjunto de todos los conjuntos. 

El teorema de Cantor, afirma que estrictamente, todo conjunto tiene una cardinalidad inferior a su conjunto potencia.

¿Qué ocurre con el infinito absoluto?

Siguiendo la definición de Cantor, el infinito absoluto entonces, debe ser contenido en su conjunto potencia.

Sin embargo, esto recae en una contradicción, pues el infinito absoluto contiene a todos los conjuntos, y por ende a su conjunto potencia. Por otro lado, si se trata de argumentar que el infinito absoluto tiene conjunto potencia, entonces se está contradiciendo a la propia definición de Infinito Absoluto. En caso de sostener que el infinito absoluto contiene a su conjunto potencia, contradice al teorema de cantor al afirmar que el conjunto potencia es inferior al conjunto original.

En resumen, no existe tal cosa como el infinito más grande, o el que contiene a todos los infinitos, pues por definición es contradictorio. 


Puedes investigar más aquí.

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